YLE Colloquia Latina

Uri omnibus sodalibus, praecipue Iulae et Gastóni s.d.p.

Eheu! Errorem habemus omnes.
Amicus meus, qui homo mathematicus est, dixit hoc mihi:
Habemus homines A, B, C, D, E, F, G, H, I, K cum contagionibus a, b, c, d, e, f, g, h, i, k.
Primum homines A usque F tangunt G (sex tactiones).
G tangit H, et I tangit K. Deinde G tangit I et H tangit K. (quattuor tactiones)
Nunc homines G usque K habent omnes morbos.
Postremo, G iterum tangit homines A usque F (sex tactiones), ergo sedecim tactiones in summa.
Et demonstratio etiam abest.

Uri Iuliae s.d.p.

Censeo hoc aenigma nimis crudele esse, Iulia...
Ut sciemus quot chartulae rotundae possunt positae esse in tabula, necesse est scire radios chartularum tabulaeque.
Vide hanc paginam:
http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/packing/cci/cci.html
Sed si solutio vere est, libenter eam audiam. Me miserum! Excruciavit me hoc aenigma...

Gastón Iuliae Urique s.p.d.

Si Gaius satis callidus est, nunquam perdere potest. Primam chartulam in centrum tabulae ponere debet et deinde quamque chartulam suam (tertiam, quintam, septimam, etc) simetricam centro tabulae cum chatula priore (secundam, quartam, etc). Ita, Gaius semper proximam colocare poterit simetricam, sed tabula infinita non est, et Aulus aliquando sine spatio erit, quicumque sint radii tabulae chartularumque.

Ignoscite mihi, linguam Latinam non bene scio. Spero vos intellexisse mihi.

Valete quam optime!

Iulia omnibus, praecipue Gastoni et Uri (cuius declinatio?) s.p.d.

Optime, Gastón! Non enim agitur, Uri, quantas chartulas in tabula poni possint, sed qua ratione unus lusorum semper habeat, ubi ponere possit. Itaque magnitudines tabulae chartularumque nullius sunt momenti.
Propone ergo aliud nobis aenigma, Gastón! Equidem conabor emendare demonstrationem meam... Saltem prima pars recta esse videtur, scilicet ut novem tactionibus sit opus, ut omnes omnes habeant contagiones.

Valete.

Iulia Uri (sine declinatione...) et Gastoni sal.


Puto me demonstrationem invenisse. Ecce:

Augetur aut numerus hominum cum plurimis morbis aut numerus maximus morborum (aut neuter), sed non possunt crescere simul. Si crescit numerus maximus morborum, semper sunt duo homines, qui hoc novo numero afficiuntur, quia post omnem tactionem ambo habent eosdem morbos. Haec omnia facilia intellectu.

Ut iam scimus, opus est novem tactionibus, ut unus (vel potius duo) omnes habeat morbos.
Post octem tactiones ergo oportet esse duo homines, quorum uterque alteri omnes, qui ei desunt, dare possit morbos. Uterque autem collegam habere debet iisdem morbis affectum, nisi unus eorum nullum tetigit ante. Ita additis duobus tactionibus habemus quattuor homines cum omnibus morbis. Restant sex, qui non alter alterum possunt explere, oportet ergo, ut tangant alios quattuor. Ita sedecim (octo et duo et sex) tactionibus est opus, ut omnes omnes habeant morbos.

Videamus ergo exemplum Uri:

Primum homines A usque F tangunt G (sex tactiones).
G tangit H, et I tangit K.

Habemus octo tactiones, duas partes (A usque H, I et K), quarum utrique sunt duo cum certo maximo numero contagionum (G et H cum contagionibus a usque h, ergo sex, et I et K cum i et k, ergo duo).

Deinde G tangit I et H tangit K.
Nunc homines G usque K habent omnes morbos.

Id sunt duo tactiones.

Postremo, G iterum tangit homines A usque F (sex tactiones), ergo sedecim tactiones in summa.

In eo est, ut spero , etiam demonstratio hoc numerum esse minimum: Constat post novem tactiones esse duo homines cum omnibus morbis. In Gastonis exemplo (et in prima mea demonstratione) post octava tactione duos habuimus homines, qui una tactione omnes haberent morbos, ita ceeri debuerunt primos illos tangere. In exemplo Uri bis erant duo, qua de causa numerus tactionum diminuatus est uno. Non autem fieri potest, ut plus sint, quod haud difficile censeo intellectu, difficile autem demonstratu: Habemus duas partes cum x et 10 - x hominibus; in utraque sunt duo, qui omnes habent morbos partis eorum. Ad eos morbos adipiscendum opus est iis x - 1 et (10 - x) - 1 tactionibus: x - 1 + 10 - x - 1 = 8. (Sumus post tactionem octavam.) Si ergo unus ex utra parte tangunt, habemus exacte duos homines cum omnibus morbis. Nunc iterum ambas partes potest dividere, ut denique decem habeamus partes cum uno homine, et semper cum duo homines variarum partum cum plurimis morbis (id est in principio unus) tangunt, iungunt partes eorum et habemus duo cum novo maximo numero morborum. Itaque, dum hoc modo profisciamur, numerus maximus hominum cum plurimis contagionibus cuiusvis partis semper debet esse duo, et non habemus post tactione octava ter aut pluries duo homines, qui se expleant. Quod erat demonstrandum.

Spero vos hoc intellegisse...

Valetote.

Gottingae, a. d. XVI Kal. Sep.

M. Favonius sodalibus s.

Nova domo empta quamvis in sede mutanda non mediocriter occupatus sim, tamen tempus esse puto iam huc redire me...

Ecce nova quaestio, eaque ex „collegio logico“:

Anicius: „Bruttius mentitur.“
Bruttius: „Calvisius mentitur.“
Calvisius: „Et Anicius et Bruttius mentiuntur.“

Quis eorum mendacium dixit, quis verum? (Qua de causa? )

Valete.

Uri omnibus sodalibus s.d.

Si Anicius verum dixit, Bruttius mentitus est; si Bruttius mentitus est, Calvisius verum dixit; ergo Anicius mentitus est, et impossibile est Anicius verum et mendacium dicere una; ergo Anicius mentitus est.
Bruttius igitur verum dixit, Calvisius mendacium.

Uri omnibus sodalibus s.d.

Fortasse audivistis esse novum librum Britannicum cuius nomen "casus singularis canis de nocte" est, quo inveni hoc aenigma:

Novus ludus est in Circo Maximo: sunt tres ostia, unus lusor. Post duo ostium- nihil, post tertium- thesaurus.
Lusor eligit unum ostium. Magister ludi patefacit unum ostium ceterorum, post quod nihil est, et dicit lusorem posse commutare electionem.

Si semel luditis, an melius est commutare aut non?
Si luditis ad infinitum, quid melius est?

...Qua de causa?

Gastón Iuliae Favonio Uri ceterisque sal.

Videamus:

Si Ancius veridicus est, Bruttius mendax. Si Bruttius mendax, Calvisius veridicus. Si Calvicius veridicus, Ancius mendax. Contradictio est. Ergo Ancius mendax est.

Si Ancius mendax est, Bruttius veridicus. Si Brutius veridicus, Calvisius mendax est. Si Calvisius est mendax, Ancius veridicus est. Contradictio est. Ancius veridicus est... Fortasse Calvicius sit mendax, sed non semper.

Si Ancius est veridicus et Bruttius est mendax, Calvisius veridicus est. Sed iam sumpsimus quod Calvisius mendax erat. Ergo Ancius mendax est.

Si Ancius mendax est et Bruttius veridicus, Calvisius mendax est. Nulla contradictio est. Calvisius etsi mendax est, veridicus fuit cum Ancium mendacem esse dixisset.

Iulia mihi poposcit ut novum aenigma proponat. In interreti perscrutatus sum et nullum aenigma inveni melius quam hoc:

Quinque coniugii novissime nupti (Ernestus, Favius, Gustavus, Horatius, Ioanna, Karina, Lucia, Maria, Norma), iter nuptiale fecerunt quodque in diversum locum (Adelaidam in Australiam, Limam in Peruviam, Niagaram in Canadam, Romam, Lutetiam) et per diversum spatium temporis (5, 10, 15, 20, 30 dies). Ex Bonis Aeribus exierunt.

Ernestus, qui ex America non exivi, iter per decem dies fecit.
Horacius Romam ivit. Coniugium quod in Canadam iter fecit, per quinque dies ivit.
Lucia per triginta dies ivit. Ea neque cum Ignacio neque in Europam Ivit.
Ioanna in Peruviam ivit.
Gustavus una cum Norma in Europam ierunt. Maria quoque in Europam ivit per quindecim dies.

Quomodo coniugii erant? Quo quodque ivit? Per quot dies quodque iter fecit?

Valete!

Ingnoscite mihi. Meum nuntium tardus scribebam cum Uri respondit. Luminemus primum aenigma Uri.

Iulia Uri Gastionique sal.

Uri, iam novi aenigma tuum, ergo primum non respondabo, ut aliis sit facultas id solvendi .

Ecce solutio aenigmatis a Gastono praepositi:
Ernestus cum Ioanna per decem dies in Limam;
Favius cum Lucia per triginta dies in Adelaidem;
Gustavus cum Norma per viginta dies in Lutetiam;
Horatius cum Maria per quindecim dies in Romam;
Ignacius cum Karina per quinque dies in Niagaram iit.

Valete!

Marcus Uri ceterisque aenigmatophilis pariter omnibus sal.

Animi causa quaestionem tuam, Uri, conor absolvere...

Res ad probabilitatis theoriam videtur pertinere.

I. Tria sunt ostia, quorum post unum thesaurus latet (probabilitatis ratione 0,3333...), post alterum et tertium nihil (probabilitatis ratione 0,6666...).

1. Lusor unum ex tribus his ostiis eligit. Quod ostium a magistro ludi non aperitur.

2. Magister ludi unum ex reliquis duobus ostiis patefacit, post quod nihil.

3. Lusori denuo eligere licet, id est
3.1 aut ostio stare iam electo (1), idque renuntiata altera electione,
3.2 aut denuo ostium eligere, idque a magistro ludi (2) non patefactum.

4. Magister ludi ostium a lusore (aut 3.1 aut 3.2) electum patefacit.

II. Quaeritur, quid lusori faciendum sit, ut res quam prosperrime sibi procedat.

Consideremus probabilitatis rationes:

Ad 3.1 Lusor electione altera renuntiata ostio iam electo stat.
Hoc ostio patefacto lusor thesaurum probabilitatis ratione 0,3333... adipisci potest.
Nihil post ostium reperit probabilitatis ratione 0,6666...

Ad 3.2 Lusor denuo eligit.
Ostio (aut 3.1 aut 3.2) patefacto lusor thesaurum probabilitatis ratione 0,6666... adipisci potest. (Obiter dictum: Lusor, si casu ostium, post quod nihil est, priore electione elegit, thesaurum certo adipiscitur.)

Ex quo apparet altera electione facta probabilitatis rationem, qua lusor thesaurum adipisci possit, duplicari.

III. Quae res etiam experimentis cognosci potest („Si luditis ad infinitum...“?); sed longum est omnia demonstrare.

Haec hactenus, sodales. Mathematicum me non esse scitote. Itaque erroribus demonstrationique non perfectae mihi date veniam!

Iterum alio vocor.....

Valete.

XIV Kal. Sept.

Iulia omnibus s.p.d.

Perfecte aenigma solvisti, Marce!
Quamvis enim haec solutio primo aspectu falsa videtur - plerique putant post portam patefactam probabilitates portarum 3.1 et 3.2 aeque esse 0,5 - tamen paula mutatione ludi demonstrare potest etiam primo aspectu hanc solutionem esse rectam: Si mille habes portas cum uno thesauro, et si magister ludi post electionem lusoris 998 portas patefacit, post quas nihil, nemo non vidit lusorem alteram debere eligere portam.

Aliud aenigma:
Habet aliquis citrullum vulgarem (Germanice: Wassermelone) quattuor chiliogrammorum, qui 99 centesimis est aquae. Nunc autem casu relinquit fructum in sole, donec solum 98 centesimis sit aquae. Quanti ponderis nunc est citrullus vulgaris?

Valete.

Gastón Iulia ceterisque sal.

Optime solvisti, Iulia, eanigma meum. Sed nescio qua causa nuntium meum quod heri scripsi hic non est.

Tuus citrulus crispissimus est! Annos sub sole fuit! Nam ingeniarius sum, hoc non est mihi aenigma.

Valete!

Uri omnibus s.d.

Debeo vos corrigere, Iulia Marceque! Scio et multos putant hanc esse solutionem,
et multos putant probabilitates aequas esse, sed vera solutio est:
si semel ludis, probabilitates aeqae sunt- quia ratio abest, qua in uno casu melius sit alterutrum ostiorum;
solum si ludis sine fine (id est, ad infinitum), rationes probabilitatis attingunt 0.333.. et 0.666.. ut lusor qui semper eligit alterum ostium vincat.

Hoc simile est rogationis: si iacis nummum, et millies unum latus vides, num dices probabilitates esse 1:1000 ut videas ceterum latum? Minime vero.
Immo, dices probabilem esse, si iacitur ad infinitum nummus, ut numerus apparitionum duorum laterum aequus sit.

Spero mihi nimia corrigenda non esse in hac epistula...