Iulia Norico numerorum studioso sal.
Cum nuntium tuum, quod in colloquio abs te instituto misisti, magis ad philosophiam cum numerorum tum matheseos pertimnere mihi videatur, hunc locum aptiorem habeo, ut tibi respondam.
Maximum gaudium mihi attulisti prima tua sententia te omnia intellexisse! Quam raro talia audio! Quam optime possum, conor res dilucide explanare, tamen multi ne conantur quidem intellegere.
Deinde difficillimam tetigisti quaestionem in nuntio tuo: videlicet utrum extra hominem sit mathesis. Cuius quaestionis certum responsum tibi dare non possum. Fundamenta omnis matheseos est axiomatum systema, e quibus axiomatibus - in theoria - omnia deduci possunt. Sed originem historicam trahit mathesis nequaquam ex axiomatibus, sed e necessitate numerorum adhibendorum. Numeros vero - hic ita loquor de numeris, ut plerique homines - putaverim ibi oriri, ubi primum tam abstracte coepimus cogitare, ut duas res eodem nomine appellerimus. Certe duo equi multis in rebus dissimiles sunt, sed cum primum coepimus eos idem vocare, oportuit numeros invenire, ut enumerare possimus, ut dicere possimus non iam 'ibi sunt A et B et C', sed 'ibi sunt tria eiusdem generis, i.e. tres equi'. Id naturale nobis est, ut in natura vivere possimus: Si enim omne animal, quod necant venatores, an edi possit oporteret invenire, puto tales homines mox emorituros. Multo facilius, res non singulatim, sed in generibus numerare, ut dicere possimus: 'ibi est cervus: cervos edere possumus. Venemur ergo cervum!' Itaque persuasum mihi est omnes in orbe homines '1, 2, multi' vel simile systema numerorum habere, plerique maius et difficilius. Maiores numeri, numeri negativi, numeri rationales sequuntur, ubi plures homines una vivunt, ubi oppida et urbes crescunt. Inde etiam in alia genera numerorum incurres, si modo satis philosophice cogitas. Ergo numeros puto homini naturales esse, sine numeris enim mundum non satis intellegere possemus, ut in eo vivere possemus.
Ex iis originibus ergo pervenimus ad alias res: ad functiones, ad copias, greges, anulos, corpora, spatia vectorum etc, ad topologiam, ad theoriam numerorum, ad geometriam et ad multos alios matheseos ramos. Illuc pervenimus, quod cerebrum humanum talia cogitare potest; si aliud haberemus cerebrum, certe aliam speciem praeberet mathesis.
Euclides primus mentionem fecit axiomatibus: primum, quid sit punctus, linea etc dicit, deinde res monstrat. Si vis, Euclidis elementa primus est liber mathematicus modernus.
Dein, ineunte saeculo vicesimo, Bertrand Russel invenit antinomiam de copiis. Theoria copiarum aliquos annos ante a Georgio Cantor introducta est, qui dicit copiam esse 'comprehensionem obiectoum discretorum nostrae cogitationis in unum' ('eine Zusammenfassung wohlunterschiedener Objekte unseres Denkens zu einem Ganzen'). Talia obiecta esse possunt quidvis: singula elementa, copiae elementorum, copiae copiarum, quidcumque. Antinomia Bertrandi Russel est haec: specta copiam omnium copiarum, quae non se ipsam elementum continent. Ea copia continetne se ipsam elementum annon? Saepe eadem res alia occurrit specie: Mernte finge vicum, cuius tonsor omnium incolarum barbam tondet, qui non ipsi tondent. Quis tondet tonsorem?
Haec antinomia soluta est alia axiomata introducendo, quibus a) effectum est nullam copiam se ipsam elementum continere posse, et b) non poscitur talem copiam, qualem protulit Russell, revera esse copiam. Revera ex antinomia sequitur comprehensionem omnium copiarum non esse copiam.
David Hilbert talibus rebus commotus ut plurimi eius temporis mathematici, maximum in lucem protulit propositum, scilicet, ut omnia axiomata, in quibus niteretur mathesis, proberentur, supervacua delerentur vel melioribus substituerentur, etiam ut, quid sit demostratio, melius definiretur, breviter, ut omnia fundamenta, super quae constructa est domus mathematica, funditus reviserentur, ut in fine maneret axiomatum systema sine contradictionibus, sed satis amplum, ut omnes hypotheses veras aut falsas demonstrari possint. Quod propositum 'programma Hilbertianum' dicitur. Maximus susceptus est labor, multum profecerunt mathematici, cum necopianter venit Curtius G