Iulia Mercurio et Marco sal.
De quantitatibus "infinitesimis" fortasse adiuvare possum, quippe quae studeam rebus mathematicis...
Mercuri, meministine illarum partium matheseos, quae differentiatio et integratio vocantur? Persuasum mihi est has res in classibus supreioribus tractatas esse. Tamen hic brevi de iis exponam:
Data sit aliqua functio, cuius ascensum a in puncto (x0, f(x0)) volumus cognoscere. Si est linea, facillimum est, quod ascensus ubique est idem: Si habemus dua puncta (x, f(x)) et (y, f(y)) in linea, quotientem spectamus: a=(f(y)-f(x))/(y-x)
Si autem non est linea, hac ratione non iam possumus uti. Quid ergo? Possumus per quaelibet dua puncta lineam ponere, quarum linearum scimus ascensum. Eligimus ergo punctum nostrum (x0, f(y0)) et alium punctum in functione aliquantulum ab eo remoto (x0+h, f(x0+h)). Ascensus lineae ergo est a=(f(x0+h)-f(x0))/(x0+h-x0)=(f(x0+h)-f(x0))/h. Quo minus ergo est h, eo accuratius est a. Oportet ergo h quam minimum possibile faciamus, sed cavendum est, ne 0 fiat, quod si accideret, haberemus 0/0, quod non est definitum. Limitem ergo oportet spectamus: lim[(f(x0+h)-f(x0))/h], h ad nullum currit. Quod si definitum est, habemus derivationem f'(x0). Nunc h noster quamvis propinquum factum est nullo, nec autem nullum fit: Quantitas infinitesima est.
Simile in integratione: Data sit aliqua functio; volumus aream sub functione inter puncta a et b computare. Dividimus ergo spatium inter a et b in dua vel tria vel n aequa intervalla et accipimus puncta a, a+(b-a)/n, a+2(b-a)/n, a+3(b-a)/n, ..., a+(n-1)(b-a)/n, b. Nunc spectamus punctum (a+k(b-a)/n, f(a+k(b-a)/n) et lineam planam delineamus usque in punctum (a+(k+1)(b-a)/n, f(a+k(b-a)/n). Eo modo rectangularia facta sunt, quarum areae sunt: Ak=f(k(b-a)/n)*(b-a)/n. Summa eorum rectangularium est propinqua areae sub functione.
Quo plus habemus rectantularium, eo accuratius scimus aream sub functione. Oportet ergo, ut quam plurima et quam minima possibile faciamus intervalla, ut in fine habeamus infinitem numerum intervallorum nullius fere longitudinis.
Habemus ergo lim(sum(f(k(b-a)/n)*(b-a)/n)), k currit a 0 ad n (in summa), n vero currit in limite ad ∞. Quod si exstat (et si idem est quam elia summa), est integral functionis f de a ad b.
Hic longitudo intervallorum est quantitas infinitesima.
Neque ergo Marcus erravit neque uxor tua false eum reprehendavit, quod haud mathematice cogitaret; qantitates enim illae infinitesimales nonnisi in limite, ut supra demonstravi.
Marce, recte suspicatus es, 2/∞ et 3/∞ aeque nullum esse, vero lim(2/n) = 2*lim(1/n) = 2*0=0, et idem valet, si 3 habes pro 2.
In certis partibus matheseos utile est numeris realibus (0, 1, 2, 3.759, e, ...) quasi "numerum" ∞ vel -∞ - nam idem valet - adiungere; quo facto "numerus" x/∞ exstat et nullum est. Plerumque ∞ non est numerus, ergo x/∞ non licet dicere. In meis exemplis vero si simpliciter dicimus x/∞=0, x/0=∞, fit, ut expressionibus 0*∞, 0/0 aliquem numerum contribuari oporteat, quod non fieri potest nisi ambigue. Qua de causa limitibus utimur.
Spero haec intellegibilia esse...
Valete quam optime.